Em 1931 surgiu um trabalho num periódico científico alemão intitulado: “Sobre as Proposições Indecidíveis dos Principia Mathematica e Sistemas Correlatos”. Seu autor, que contava com vinte e cinco anos de idade, era em jovem vienense raquítico, introvertido, caladão e anti social. Chama-se Kurt Gödel. O curto texto deste homem esquizotímico convulsionou o mundo da matemática e inaugurou uma nova era para o pensamento filosófico pós moderno.
Jonh Dawson era um lógico da universidade de Princeton que, tendo resolvido “exumar” Gödel após sua morte, ocorrida em 1978, acabou descobrindo um tesouro na própria casa do autor do revolucionário Teorema da Incompletude. Dawson deve ter ficado estarrecido com o que viu. Um amontoado de caixas e baús espalhavam-se desordenadamente pelos aposentos, contendo centenas, milhares de anotações das mais diferentes categorias. Havia de tudo no caos, desde lista de roupas e notas de lavanderia, fotos de família, texto de ensinamentos bíblicos de testemunhas de Jeová, artigos de revistas populares e científicas, até esboços manuscritos de textos científicos não publicados do próprio Gödel. Este legado encontra-se hoje guardado e preservado na Biblioteca Firestone, na universidade de Princeton.
O que se segue é um documento que faz parte deste acervo. Nada sabemos se o arredio autor escreveu-o para si mesmo ou se um dia desejou publicá-lo, sabe-se lá aonde:
“Meu nome é Kurt Gödel, sou matemático e dizem que sou um gênio. Ainda em vida adquiri a fama, e me pagam para isto, de ser um dos maiores acadêmicos do século vinte a me dedicar à utilidade do conhecimento inútil. O nivel intelectual da humanidade, queiramos ou não, parece que de alguma maneira depende deste tal de “conhecimento inútil”. Do contrário não me pagariam para pensar. Se alardeiam por aí que sou o maior lógico que, desde Aristóteles, já existiu é porque a matemática é fundamental para todas as ciências. Eu, de minha parte, tenho serias desconfianças quanto a “utilidade” de um pensamento articulado logicamente àquilo que, nós, humanos, nomeanos de “nível intelectual”.
O que pretendo aqui, ao escrever para leitores e cidadãos comuns, é dar a ententender para a posteridade como um nomeado “gênio” da minha estirpe funciona. Até onde podem ir minhas lembranças de infancia, seguramente sei que desde os meus três anos de idade já configurava com clareza, em minha lógica emocional, a incompetência de meus pais em relação as terefas, decisões e posturas quanto aos cuidados parentais. Sim, foi grandiloquente o meu mal estar infantil, minha angústia, face a ignorância e a inoperância da dupla em relação ao mínimos detalhes pertinentes à minha criação. Até hoje desconfio de que esta questão é mais universal do que supõe a minha vã filosofia. Na verdade, acho realmente que este foi o primeito teorema que descobri. Parece que Freud já provou esta tese. Fato é que aos três anos de idade eu já era mais inteligente que meus pais. A partir deste postulado, tornei-me um curioso. E, aos 25 anos, produzi uma prova na lógica matemática que estarreceu o mundo acadêmico do século XX.
Sou, sempre fui, uma pesoa contida, retraida mesmo. O que expresso aqui para o leitor comum certamente terá o mesmo estilo. Se o meu célebre teorema hoje pode ser encontrado na Enciclopedia of Philosophy, se recebi o título honorário de “doutor” por Harvard, Yale e Princeton, se meu teorema foi eleito como a descoberta matemática mais importante do século e se meu único e, portanto, melhor amigo foi Albert Einstein, estas não são questões que me concerne comentar. O que me interessa dizer passo a fazê-lo agora.
Em primeiro lugar quero esclarecer que o pensamento matemático não é pensado da mesma maneira que voce, meu caro leitor, pensa o seu pensamento. É muito simples explicar como isto funciona. Se eu pegar um objeto que se encontra em cima de minha mesa, por exemplo, esta caneta, e mostrá-la a voce pergundando-lhe “O que é isto que agora seguro entre meus dedos?”, voce certamente me responderá que “isto que está sendo segurado é uma caneta”. Certo? Não! Não para um matemático. Como matemático sou obrigado a te solicitar: prove! É a partir daí que as pessoas comuns começam a achar que nós somos um bando de malucos. Ou, no mínimo, um bando de chatos. É verdade que por duas vezes em minha vida cheguei a ficar internado em clinicas psiquátricas, mas isto é uma parte da história que não quero discutir aqui.
É evidente que no meu dia a dia, quando me utilizo de uma caneta para produzir um texto, não me interessa ficar pensando qual é a verdade presente no objeto “caneta”. Todavia, quando estou escrevendo um texto científico, tenho que me valer de uma ferramenta, a lógica formal, que sempre pretenderá enunciar algo dentro da “verdade”, da “certeza”, da “incorigibilidade” e da “aprioricidade” do que estou produzindo como ciência teórica. Em suma, não é o objeto “caneta” que interessa a nós, cientistas da lógica e da matemática pura. Nosso “objeto” é sempre o enunciado sobre um objeto: “isto que está sendo segurado é uma caneta” é um enunciado verdadeiro? Incorrigível? Só haverá uma certeza se eu provar logicamente a verdade do enunciado. Se “isto que está sendo segurado é uma caneta” é uma verdade axiomática, então, meu caro leitor, enuncie os teoremas para provar o axioma. Para tal, a lógica formal deve ser teoricamente capaz de matematizar qualquer enunciado.
É certo que as vezes me excedo em minhas análises com a lógica formal. Em 1947 estavamos, eu e Eisntein, nos dirigindo para o prédio onde fica o escritório que representa o Departamento de Estado Americano, o palácio da Justiça Federal de Trenton. Eu estava indo prestar o juramento para receber a cidadania americana. Durante algumas semanas só o que fiz foi estudar a Costituição daquele país que logo me acolheria. Assim que Einstein entrou no carro eu lhe disse:
- Albert, a Constituição americana tem um erro lógico. Sua democracia com certeza um dia de deteriorará numa tirania.
Einstein ficou muito perturbado com minha fala e permaneceu o tempo todo, durante o trajeto, contando historietas engraçadas para me distrair. Diante do juiz Philip Forman, o mesmo que ministrara a cidadania para Einstein, externei minha preocupação a respeito da falha na Constituição. Ainda bem que o próprio Forman mudou de assunto e o ato foi realizado a contento. Neste dia, Albert quase me matou, tamanha era sua indignação para com meu discurso.
Mas voltemos ao pensamento do “tipo” matemático. Nós trabalhamos com elementos. O que são “elementos”? Quando confeccionamos teoremas nossa matéria prima é aquilo que denominamos “elementos”. A mística judaica nos oferece uma dinãmica bastante interessante para entendermos a lógica do pensamento matemático. Quando um místico cabalísta pretende “tocar” no nome de Deus ele trabalha, na leitura que faz da Torá, com as letras do alfabeto hebraico nela contida. Portanto, nomear o inominável, o que nem face possui, o impronunciável YHWH, é uma operação que consiste em combinar letras, o que só os iniciados estão aptos a realizar. Na verdade, para a filosofia rabínica o mundo da Criação se baseia no desenvolvimento de forças que estão ativas em Deus Mesmo. A doutrina mística postula algo como a existência da alma das letras presentes na Torá. E se Deus Mesmo contem forças vivas, na Escritura hebraica presentifica-se a materialidade de uma corrente de elos letrados que estão presentes no movimento interior da própria substancia Divina. Se o axioma cabalístico diz “Deus existe”, o místico deve combinar e recombinar as letras sagradas, interpretando e reinterpretando as leituras de sucessivas ordens que vão se formatando e se multiplicando em nomes e palavras que emergem da decifração ritualística. Os enunciados se multiplicam até que o feitor do rito, num dado momento, “sabe” que tocou em Seu nome. Fica assim “provado” o axioma com o aval da autoridade rabínica que reza pelas Leis e pelos ditâmes que devem ser obedecidos pela comunidade. O leitor pode notar com facilidade que os teoremas que provam Sua existência são hieróglifos que só o místico tem o poder e a sabedoria para decifrar. É sua autoridade, seu dom, que dita a significação que é “lida” nas múltiplas combinações das almas letradas. Os “elementos” materiais com os quais opera a mística judaica são as letras de seu alfabeto sagrado, presentes na Torá.
Quero agora destacar um fato curioso, peculiar desta técnica de decifração. Não deixa de ser um método perigoso a técnica que leva alguém a fazer contacto com Deus. Eu, de minha parte, acho que quem conversa com Deus é um sujeito religioso, mas, convenhamos, se num contraponto lógico Deus conversar com alguém, este indivíduo é um esquizofrênico. Não afirmo aquí que a mística judaica é coisa de malucos. Tais doutrinas estão perfeitamente vinculadas a uma socialização bastante antiga e sofisticada e seria leviano afirmar que estas comunidades, em suma, nossos ancestrais, eram formadas por conglomerados de doidos. Todavia, há perigo, e as própria autoridades rabínicas sabem disto. Sob ponto de vista lógico formal, “maluco” é uma palavra que possui múltiplos significados. Einstein, numa dada época, vivia dizendo em Princeton que eu ficara maluco por ter votado em Eisenhower.
Mas eu estava falando da técnica cabalística. Se tal religiosidade crê poder encontrar o Nada que é Tudo, sua thecné se deriva dos fundamentos básicos ou títulos do Sefer letzirá que tratam das letras e de suas combinações. O que me chama a atenção é o fato de num dado momento do ritual, no movimento das letras, há um instante em que o místico chega a fase do “salto”, conforme reza nas Escrituras: “e seu saltar sobre mim era amor”, presente no Cântico dos Cânticos. Em vez de ve-diglo, “e sua bandeira”, o Midrash lê, num jogo de palavras, ve-dilugo, “e seu salto”, ou seja, passam a referir-se ao processo de associação homofônica que seus escritos descrevem. Trata-se, como na matemática pura, de um jogo de linguagem. Com uma diferença: nas leis estabelecidas para a lógica formal, matemática, é proibido trapacear. Enquanto isto, o místico rouba no jogo.
O tal do “salto” é uma invenção muito inteligente e refinada. Ele modifica a ambiência formal do jogo jogado, e, para eles, isto tem validade durante a partida. É mais ou menos como se eu, estando prestes a receber um xeque-mate numa partida de xadrez, introduzisse no tabuleito uma peça do jogo de damas e saisse comendo todo bispo e toda torre do adversário que visse pela frente. Mas tudo é verdadeiramente muito bonito e bem engendrado. James Joyce disse um dia que “se toda a Igreja Católica foi alicerçada num quebra-cabeça, num puzzle, então é valido eu ter escrito Ulysses, uma obra que nenhum católico deveria ler”. O quebra-cabeça joyceano é YHWH.
O “salto” dos cabalístas está muito bem descrito num livro de 1295, intitulado Schaarei Tzedek, escrito por um discípulo de Albulafia, um dos Grandes na mística da Cabala. Neste texto ele, o discípulo, ensina que ao executar este “salto” devemos colocar as consoantes nos movimentos combinatórios de forma rápida, acelerada. Tal movimento “aquece” o pensamento e aumenta de tal maneira a alegria e o desejo de fazer contacto com Deus, que a vontade de comer e dormir desaparece. Ele escreve: “Tu te forçarás a ponto de perder o controle de tua consciência natural e, mesmo que desejasses não pensar, não poderias obedecer ao teu desejo. Então guiarás teu pensamento passo a passo, primeiro por meio da escrita e da linguagem, depois através da imaginação”. Este fragmento do texto deixou-me verdadeiramente estupidificado ( no original, truly stupidity – Godel não escreveu este texto em alemão, sabe-se lá por qual motivo ). O sujeito, pela fome, pela insônia, pela leitura fervorosa do Torá, pelo canto ininterrupto dos salmos, pela reclusão, produz uma alteração da própria consciência “até que pela força pura alcances aquele estágio em que não falas nem podes falar”. Ora, se o indivíduo fica tão alterado quanto estes rapazes de hoje em seus transes lisérgicos, é da sopa de letrinhas alucinada que cai o Nome-do-Pai. É notável que toda uma filosofia teológica, e a própria invenção de Deus, tenha sido fundada na lógica de letras presentes e naquelas produzidas pela imaginação estimulada pelo êxtase de um místico doidão. E tudo “por meio da escrita e da linguagem”. Toda a ética do Ocidente se aculturou numa lógica e numa “verdade” desta natureza.
O rigor da linguagem matemática é completamente outro e é proibido trapacear no jogo. Enquanto a mística judaica se estrutura num constructo social, a matemática se estrutura num constructo formal, destituido de significado ético ou espiritual. O alfabeto lógico é puro alfabeto para fins de combinações subjetivamente dessignificadas no mundo que é cotidianamente “conhecido”. Nosso alfabeto matemático constitui-se de meras materialidades abstratas e formais e só faz sentido dentro do campo da própria matemática. Hoje, aos setenta anos de idade, concordo com Hegel quando ele diz que a matemática pura produz proposições “mortas e rígidas”. Mas aos vinte e cinco anos eu era absurdamente convicto quanto ao meu desinteresse em relação a conceitos “espirituais”. Hegel escreveu: “A matemática se orgulha e se pavoneia frente a filosofia – pos causa deste conhecimento defeituoso, cuja evidência reside apenas na pobreza de seu fim e na deficiência de sua matéria: portanto, um tipo de evidência que a filosofia deve DESPREZAR”. Apesar do exagero emocional de tal proposição, quando jovem eu achava que pensar em transcendência metafísia era uma crendice improvável e desprezava qualquer noção para além das verdades matemáticas. Por incrível que pareça, meu próprio teorema abalou a onipotência de TODA pesquisa em matemática pura, mas não abalou durante muitos e muitos anos a minha própria, e onipotente, verdade racional.
Eu crio uma ciência que o metafísico não gostaria de ver. Ele inventa uma lógica na qual eu gostaria, hoje, de ter vivido. Algo está sempre por se completar.
Para falar um pouco do meu Teorema da Incompletude farei uma nova analogia visando facilitar a comprensão do meu caro leitor sobre o que vem a ser a “prova de Gödel”. Durante dois mil anos a verdade auto-evidente dos axiomas da geometria era inconteste. A verdade e a consistência mútua de todos os teoremas oriundos dos axiomas sempre foram válidas apriorísticamente. A loquacidade silenciosa de meu enunciado afirmava, e provava, a impossibilidade de sistematizar por inteiro o raciocínio da própria ciência matemática. Sempre haverá um “furo”, uma fissura, na matemática em-si. A “bomba” não foi pequena.
Estou velho e alquebrado, mas ainda me lembro de que nos anos trinta, quando meu trabalho surgiu, nem mesmo no meio da comunidade de matemáticos e lógicos, sequer o título de meu trabalho era inteligível. Os termos “Principia Mathematica” presentes no frontispício, extraidos de uma esplêndida obra em três volumes de Alfred N. Whitehead e Bertrand Russel, não constituia nem mesmo um pré-requisito para a pesquisa nos mais diversos campos da matemática. Tentarei agora dar inteligibilidade a este “pavoneamento”, como diria Hegel. Entendamos o que é “axioma” e “teorema”.
A analogia é a seguinte: o jogo de xadrez é um jogo de lógica formal. Se me valho deste jogo é porque nele há uma complexidade substancialmente menor em relação a interpretação de um jogo de combinações possíveis no formalismo matemático. Todavia, um sistema formal altamente sofisticado tambem envolve tipos de objetos: os símbolos do “alfabeto”, as combinações de símbolos em fórmulas e as deduções. Estas últimas são as sequências especiais de fórmulas que devem obedecer às regras do jogo. Fica fácil ver que no xadrez o alfabeto é composto por suas peças: os oito peões pretos para um jogador, os oito peões brancos para o outro jogador, os dois bispos, as duas torres, etc. Temos tambem um tabuleiro contendo sessenta e quatro casas pintadas alternadamente em brancas e pretas. Podemos agora dizer que está pronto o sistema formal do jogo de xadrez, ou seja, seus elementos. Em seguida estabelecemos as regras entre as combinações dos símbolos: as posições das “letras” no tabuleiro para o início do jogo, a maneira como cada peça pode se movimenter e o movimento combinatório possível entre elas. Exemplo: os bispos podem mover-se para qualquer casa situada nas diagonais, perto ou distante, casa a casa, sendo que cada lado dispõe de dois bispos, um correndo pelas casas brancas e outro correndo pelas casas pretas. Evidente está que se eu fosse agora descrever passo a passo todos os detalhes pertinentes e mera formalização do jogo e de suas convenções, teria que escrever dúzias de páginas.
Fato é que não há realidade objetiva no jogo de xadrez. Sua verdade são suas regras, da mesma forma que na matemática, sob o ponto de vista do formalismo, as regras estabelecidas constituem toda a sua verdade. Provando teoremas, vencemos o jogo. E provamos teoremas mostrando como certas sequências não interpretadas, ou seja, sem sigificado, decorrem de sequências anteriores, sequências de “letras” também não interpretadas, por meio de regras de inferências combinadas. A conclusão é a última ocorrência da sequência: xeque mate! Quando não há vencedor isto signifíca que a verdade derrapou em alguma inconsistência lógica: erro de cálculo! O joguinho é de uma elegância refinadíssima.
As peças em suas respectivas casas no tabuleiro correspondem aos signos que serão utilizados no cálculo para realizarmos as inferências combinatórias. Suas posições inicais no tabuleiro correspondem aos “axiomas”, ou às fórmulas iniciais do cálculo. Os teormas, ou seja, as posições subsequentes dos sígnos correspondem às fórmulas derivadas dos axiomas. Podemos, por exemplo, produzir um teorema com um significado semântico, uma proposição, deduzida do sistema: se, e somente se, do lado das peças brancas houver dois cavalos e o rei, e, se e somente se, do lado das pretas houver somente o rei, é impossível as brancas imporem um xeque mate às pretas. Se é possível provar matematicamente tal enunciado dentro do sistema, então o teorema é axiomático. SE A PROPOSIÇÃO ACIMA É VERDADEIRA, ELA É DEDUTÍVEL DENTRO DO SISTEMA FORMAL DO XADREZ CLÁSSICO. E assim sucessivamente, por métodos finitários de raciocínio, podemos provar muitos outros teoremas dentro do joguinho.
Meu Teorema da Incompletude diz o seguinte: É POSSÍVEL DAR EXEMPLOS DE PROPOSIÇÕES VERDADEIRAS, MAS NÃO DEDUTÍVEIS DENTRO DO SISTEMA FORMAL DA MATEMÁTICA CLÁSSICA.
E provei o paradoxo: xeque mate na matemática em-si!
Uma conclusão, segundo meus colegas, perigosamente metafísica. Lembro-me de quando um dia perguntei a Bertrand Russel, outro ateu de quatro costados, o que ele faria se um dia econtrasse o Altíssimo no céu: “Senhor, por que não fornecestes mais indícios quanto à Sua existência?”, foi a resposta de Russel.
Pude demonstrar que uma verdade semântica pode ser independente de uma um sistema formal, separando os crítérios da verdade semântica dos critérios de dedutibilidade formal. Provando que existem proposições aritméticas verdadeiras que não são comprováveis, provei a impossibilidade de provar. E o fiz DENTRO DO PRÓPRIO SISTEMA FORMAL DA MATEMÁTICA. Bingo!
Se aos três anos de idade eu já me achava mais inteligente que meus pais, daí para desejar ser o matemático mais inteligente dentre os matemáticos, desde os gregos, foi só um pulinho. Restaria provar isto ao mundo com uma prova que prova a impossibilidade de provar”.
Em 14 de janeiro de 1978 Kurt Ködel morreu de inanição. Havia parado de comer e ninguem conseguiu dissuadi-lo de tal propósito. Ele não compreendia a combinação de arroz, feijão, bife e batata frita configurando uma combinação “saudável”. Sua análise lógica formal das fórmulas presentes entre os elementos contidos em carboidratos, gorduras e proteinas, para ele significavam definitivamente uma conclusão axiomática: “veneno”.
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